Question

判斷正誤:

已知二面角M-l-N的大小為α(α是銳角), △ABC在面M內, 其面積為S,

 △A＇B＇C＇是△ABC在面N內的射影, 則△A＇B＇C＇的面積為S·cosα.

(　　)

Answer 1

答案：T
解析：

證明 (1)先考慮△ABC有一邊平行于l 的情形, 例如設BC∥l (圖甲). 設AD是BC邊上的高, 則AD⊥l. 記BC＝a, AD＝h,可知它們在面N內的射影滿足B＇C＇＝a, A＇D＇＝hcosα,并且B＇C＇∥L, A＇D＇⊥l .因而△A＇B＇C＇的面積為S＇＝B＇C＇·A＇D＇＝ahcosα＝Scosα  (2)若△ABC各邊都不平行于l , 如圖乙, 則可過一頂點作平行于l 的直線, 將△ABC分成兩個較小的三角形, 如圖乙中的△ABE、△CBE, 設其面積為S1和S2, 相應地,△A＇B＇C＇也分成△A＇B＇E＇和△C＇B＇E＇, 設其面積S1'和S2'. 利用情形(1)的結論, 有S1'＝S1cosα, S2'＝S2cosα 以上兩式相加, 得到S＇＝Scosα. 綜合(1)、(2), 可知在一切情形下都有S＇＝Scosα.

提示：

分兩種情形: ①△ABC中有一邊平行于l. ②△ABC中各邊都不平行于l.