已知橢圓

過點

,且離心率

.
(1)求橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在過點

的直線

交橢圓于不同的兩點
M、
N,且滿足

(其中點
O為坐標(biāo)原點),若存在,求出直線

的方程,若不存在,請說明理由.
試題分析:(1)∵橢圓

過點

,且離心率

,
∴

, ……2分
解得:

,

, ……4分
∴橢圓的方程為:

. ……5分
(2)假設(shè)存在過點

的直線

交橢圓于不同的兩點
M、
N,且滿足

. ……6分
若直線

的斜率不存在,且直線過點

,則直線

即為
y軸所在直線,
∴直線

與橢圓的兩不同交點
M、
N就是橢圓短軸的端點,
∴

,
∴

,
∴直線

的斜率必存在,不妨設(shè)為
k , ……7分
∴可設(shè)直線

的方程為:

,即

,
聯(lián)立

,消
y得

,
∵直線與橢圓相交于不同的兩點
M、
N,∴

得:

① ……8分
設(shè)

,
∴

,
∴

, ……9分
又

,
∴

,
化簡得

,
∴

或

,經(jīng)檢驗均滿足①式, ……10分
∴直線

的方程為:

或

, ……11分
∴存在直線

:

或

滿足題意. ……12分
點評:涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,如果需要設(shè)出直線方程,不要忘記考慮直線的斜率是否存在,聯(lián)立直線與圓錐曲線方程后,不要忘記驗證判別式大于零.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(滿分10分)(Ⅰ) 設(shè)橢圓方程

的左、右頂點分別為

,點M是橢圓上異于

的任意一點,設(shè)直線

的斜率分別為

,求證

為定值并求出此定值;
(Ⅱ)設(shè)橢圓方程

的左、右頂點分別為

,點M是橢圓上異于

的任意一點,設(shè)直線

的斜率分別為

,利用(Ⅰ)的結(jié)論直接寫出

的值。(不必寫出推理過程)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
(5分)從橢圓

上一點P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點F
1,A是橢圓與x軸正半軸的交點,B是橢圓與y軸正半軸的交點,且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率是( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓

的左、右焦點分別為

、

,若橢圓

上恰好有6個不同的點

,使得

為等腰三角形,則橢圓

的離心率的取值范圍是( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

的離心率為

,且過點

.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)四邊形
ABCD的頂點在橢圓上,且對角線
A C、BD過原點
O,若

,
(i) 求

的最值.
(ii) 求證:四邊形
ABCD的面積為定值;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知點

是橢圓

上一點,

為橢圓的一個焦點,且

軸,

焦距,則橢圓的離心率是( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知點

分別是橢圓

:

(

)的左頂點和上頂點,橢圓的左右焦點分別是

和

,點

是線段

上的動點,如果

的最大值是

,最小值是

,那么,橢圓的

的標(biāo)準(zhǔn)方程是
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題12分)橢圓

:

的兩個焦點為

,點

在橢圓

上,且

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)若直線

過圓

的圓心,交橢圓

于

兩點,且

關(guān)于點

對稱,求直線

的方程。
查看答案和解析>>