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已知橢圓過點,且離心率
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在過點的直線交橢圓于不同的兩點MN,且滿足(其中點O為坐標(biāo)原點),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由.
(1)(2)存在直線滿足題意

試題分析:(1)∵橢圓過點,且離心率
 ,                                                                ……2分
解得:,,                                                          ……4分 
∴橢圓的方程為:.                                                     ……5分
(2)假設(shè)存在過點的直線交橢圓于不同的兩點MN,且滿足.   ……6分
若直線的斜率不存在,且直線過點,則直線即為y軸所在直線,
∴直線與橢圓的兩不同交點MN就是橢圓短軸的端點,
,
,
∴直線的斜率必存在,不妨設(shè)為k ,                                                  ……7分
∴可設(shè)直線的方程為:,即,
聯(lián)立 ,消y,
∵直線與橢圓相交于不同的兩點MN,
 得:    ①                    ……8分
設(shè),
,
,                 ……9分
,
,
化簡得,         
,經(jīng)檢驗均滿足①式,                                            ……10分
∴直線的方程為:,                                       ……11分
∴存在直線滿足題意.                             ……12分
點評:涉及到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,如果需要設(shè)出直線方程,不要忘記考慮直線的斜率是否存在,聯(lián)立直線與圓錐曲線方程后,不要忘記驗證判別式大于零.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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(滿分10分)(Ⅰ) 設(shè)橢圓方程的左、右頂點分別為,點M是橢圓上異于的任意一點,設(shè)直線的斜率分別為,求證為定值并求出此定值;
(Ⅱ)設(shè)橢圓方程的左、右頂點分別為,點M是橢圓上異于的任意一點,設(shè)直線的斜率分別為,利用(Ⅰ)的結(jié)論直接寫出的值。(不必寫出推理過程)

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(5分)從橢圓上一點P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點,B是橢圓與y軸正半軸的交點,且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點),則該橢圓的離心率是(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

橢圓的左、右焦點分別為,若橢圓上恰好有6個不同的點,使得為等腰三角形,則橢圓的離心率的取值范圍是(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

橢圓的一個焦點是,那么    .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,且過點

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線A   C、BD過原點O,若,
(i) 求的最值.
(ii) 求證:四邊形ABCD的面積為定值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知點是橢圓上一點,為橢圓的一個焦點,且軸,焦距,則橢圓的離心率是(     )
A.B.-1C.-1D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知點分別是橢圓)的左頂點和上頂點,橢圓的左右焦點分別是,點是線段上的動點,如果的最大值是,最小值是,那么,橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程是                   .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題12分)橢圓:的兩個焦點為,點在橢圓上,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線過圓的圓心,交橢圓兩點,且關(guān)于點對稱,求直線的方程。

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