Question

6．若實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x+y+1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，則z=2|x|+y的最大植為11．

Answer 1

分析 將z=2|x|+y轉化為分段函數，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x+3y-3=0}\end{array}\right.$，解得B（6，-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$解得C（-2，-1），
當x≥0時，z=2x+y，即y=-2x+z，x≥0，
當x＜0時，z=-2x+y，即y=2x+z，x＜0，
當x≥0時，平移直線y=-2x+z，（紅線），
當直線y=-2x+z經過點A（0，-1）時，
直線y=-2x+z的截距最小為z=-1，
當y=-2x+z經過點B（6，-1）時，
直線y=-2x+z的截距最大為z=11，此時-1≤z≤11．
當x＜0時，平移直線y=2x+z，（藍線），
當直線y=2x+z經過點A（0，-1）時，直線y=2x+z的截距最小為z=-1，
當y=2x+z經過點C（-2，-1）時，
直線y=2x+z的截距最大為z=4-1=3，此時-1≤z≤3，
綜上-1≤z≤11，
故z=2|x|+y的取值范圍是[-1，11]，
故z的最大值為11，
故答案為：11．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，將目標函數轉化為分段函數，利用兩次平移，是解決本題的關鍵，難度較大．