Question

17．設f（x）=x²+ax+2（a∈R），若{y|y=f（f（x））}={y|y=f（x）}，則實數a的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 由兩函數值域相同可知f（x）的值域里含有元素-$\frac{a}{2}$，列出不等式解出a即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+2=（x+$\frac{a}{2}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴當x=-$\frac{a}{2}$時，f（x）取得最小值2-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∵f（f（x））的值域與f（x）的值域相同，
∴-$\frac{a}{2}$∈{y|y=f（x）}，
即-$\frac{a}{2}$≥2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，解得a≤-2或a≥4，
故答案為：（-∞，-2]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了二次函數的性質，不等式的解法，屬于中檔題．