Question

14．若函數f（x）=x-1-alnx（a＜0）對任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，-3]
• C． [-3，0）
• D． （-3，0）

Answer 1

分析 當a＜0時，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0恒成立，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，函數y=$\frac{1}{x}$在（0，1]上是減函數，推導出f（x₂）+4×$\frac{1}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+4×$\frac{1}{{x}_{1}}$，設h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，則|f（x₂）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，等價于函數h（x）在區間（0，1]上是減函數，由此利用導數性質能求出結果．

解答 解：∵函數f（x）=x-1-alnx（a＜0）對任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
∴當a＜0時，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0恒成立，
此時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
又函數y=$\frac{1}{x}$在（0，1]上是減函數
不妨設0＜x₁≤x₂≤1
則|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，|，
即f（x₂）+4×$\frac{1}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+4×$\frac{1}{{x}_{1}}$，
設h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，
則|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，等價于函數h（x）在區間（0，1]上是減函數
∵h'（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-$\frac{4}{x}$在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-$\frac{4}{x}$在（0，1]內的最大值．
而函數y=x-$\frac{4}{x}$在（0，1]是增函數，
∴y=x-$\frac{4}{x}$的最大值為-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故選：C．

點評 本題考查實數值取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法和導數性質的合理運用．