Question

13．已知函數f（x）=e^x（x²+ax+a），實數是常數．
（1）若a=2，函數y=f（x）的圖象上是否存在兩條相互垂直的切線，并說明理由．
（2）若y=f（x）在[a，+∞）上有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，配方，可得導數非負，即可判斷不存在；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零點，則f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．求出f（x）的導數，極值點，討論a的范圍，解不等式，求并集即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=e^x（x²+2x+2），
導數為f′（x）=e^x（x²+4x+4）=e^x（x+2）²≥0，
對任意的x₁，x₂∈R，均有f′（x₁）f′（x₂）≥0，
故函數y=f（x）的圖象上不存在兩條相互垂直的切線；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零點，則f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．
由f′（x）=e^x（x+2）（x+a），令f′（x）=0，可得x=-2或-a．
當-a≤-2時，即a≥2時，f′（x）＞0對x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）遞增，
此時f（x）的最小值為f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，不成立；
當-a＞-2即a＜2時，
①若a≥0，f′（x）＞0對x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）遞增，
此時f（x）的最小值為f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，即為0≤a≤$\frac{1}{2}$；
②若a＜0，若a≥-2，f′（x）＜0對x∈（a，-a）成立，f′（x）＞0對x∈[-a，+∞）成立，
則f（x）在（a，-a）遞減，在[-a，+∞）遞增，
此時f（x）的最小值為f（-a），且f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，解得-2≤a＜0；
若a＜-2，-a∈[a，+∞），f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，此時結論成立．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、最值，考查分類討論的思想方法，化簡整理的運算能力，屬于難題．