Question

5．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0））的右焦點為（2$\sqrt{2}$，0），且過點c＞1．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓Γ交于不同兩點A、B，且|AB|=3$\sqrt{2}$．若點P（x₀，2）滿足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據a，c的值，求出b，從而求出橢圓的方程即可；
（Ⅱ）聯立直線和橢圓的方程，根據交點的個數判斷m的范圍，設AB的中點為E（x₀，y₀），求出x₀=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$，當m=2時，求出直線方程是y=-x-1，求出對應的x的值，當m=-2時，求出直線方程是y=-x+1，求出對應的x的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得a=2$\sqrt{3}$，又$c=2\sqrt{2}$
∴b²=a²-c²=4
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$．得4x²+6mx+3m²-12=0  ①
∵直線l與橢圓交于不同兩點A、B，∴△=36m²-16（3m²-12）＞0，
得m²＜16．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，
則x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{4}$．
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}×\sqrt{\frac{9}{4}{m^2}-（3{m^2}-12）}=\sqrt{2}×\sqrt{-\frac{3}{4}{m^2}+12}$．
又由$|{AB}|=3\sqrt{2}$，得$-\frac{3}{4}{m^2}+12=9$，解之y=-x+1
據題意知，點P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點．
設AB的中點為E（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$，
?當m=2時，$E（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$
∴此時，線段AB的中垂線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x+$\frac{3}{2}$），即y=-x-1，
令y=2，得x₀=-3，
?當m=-2時，E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴此時，線段m=1的中垂線方程為y+$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{3}{2}$），即y=-x+1，
令$（0，\frac{1}{2}）$，得x₀=-1．

點評 本題考查了求橢圓的方程問題，考查直線和橢圓的位置關系以及韋達定理的應用、中點坐標公式，是一道綜合題．