Question

14．已知正四棱錐的底面邊長為1，高為1，則這個正四棱錐的外接球的表面積為$\frac{9π}{4}$．

Answer 1

分析 先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據勾股定理解出球的半徑，最后根據球的面積公式解之即可．

解答 解：正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
記球心為O，PO=AO=R，PO₁=1，OO₁=R-1，或OO₁=1-R（此時O在PO₁的延長線上），
在Rt△AO₁O中，R²=$\frac{1}{2}$+（R-1）²得R=$\frac{3}{4}$，
∴球的表面積S=$\frac{9π}{4}$．
故答案為$\frac{9π}{4}$．

點評 本題主要考查球的表面積，球的內接體問題，考查計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．