Question

2．設數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是首項為-$\frac{1}{100}$的等比數列，且$\frac{{b}_{6}}{{b}_{7}}$=$\frac{1}{2}$，10a₁•b₂=-1，2a₁•b₂+5a₂•b₃=-2
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n項和S_n；
（3）求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．$\frac{{b}_{6}}{{b}_{7}}$=$\frac{1}{2}$，可得q=2，b_n．根據10a₁•b₂=-1，2a₁•b₂+5a₂•b₃=-2，可得10a₁•$（-\frac{1}{100}）$×2=-1，$2×（-\frac{1}{10}）$+5（a₁+d）×$（-\frac{1}{100}×{2}^{2}）$=-2，解出即可得出．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}}$=$-\frac{100}{{2}^{n-1}}$，利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．
（3）由（2）可得S₁＞S₂＞S₃＜S₄＜S₅＜S₆＜…，即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．
∵$\frac{{b}_{6}}{{b}_{7}}$=$\frac{1}{2}$，∴q=2，∴${b}_{n}=-\frac{1}{100}×{2}^{n-1}$．
∵10a₁•b₂=-1，2a₁•b₂+5a₂•b₃=-2，
∴10a₁•$（-\frac{1}{100}）$×2=-1，$2×（-\frac{1}{10}）$+5（a₁+d）×$（-\frac{1}{100}×{2}^{2}）$=-2，
解得a₁=5，d=4，
∴a_n=5+4（n-1）=4n+1，${b}_{n}=-\frac{1}{100}×{2}^{n-1}$．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}}$=$-\frac{100}{{2}^{n-1}}$，
數列{a_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n項和S_n=-100×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n（5+4n+1）}{2}$=$\frac{200}{{2}^{n}}$+2n²+3n-200．
（3）由（2）可得：S₁＞S₂＞S₃＜S₄＜S₅＜S₆＜…，
∴S_n的最小值為S₃=-148．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．