Question

12．定義區域[x₁，x₂]的長度為x₂-x₁（x₂＞x₁），函數$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a∈R，a≠0）$的定義域與值域都是[m，n]（n＞m），則區間[m，n]取最大長度時實數a的值為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． -3
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 將函數f（x）化簡，首先考慮f（x）的單調性，由題意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同號的相異實數根．利用韋達定理和判別式，求出m，n的關系．在求最大值

解答 解：解：函數$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}（a∈R，a≠0）$的定義域是{x|x≠0}，則[m，n]是其定義域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
化簡得f（x）=$\frac{{a}^{2}x+ax-1}{{a}^{2}x}=\frac{1+a}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$在區間[m，n]上是單調遞增，則有$\left\{\begin{array}{l}{f（n）=m}\\{f（m）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{1+a}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的同號相異的實數根，即m，n是方程（ax）²-（a²+a）x+1=0同號相異的實數根．
那么mn=$\frac{1}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{1+a}{a}$，
只需要△＞0，即（a²+a）²-4a²＞0，
解得：a＞1或a＜-3．
那么：n-m=$\sqrt{（n+m）^{2}-4mn}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
故n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時解得：a=3．
故選：D．

點評 本題考查了函數性質的方程的運用，有一點綜合性，利用函數關系，構造新的函數解題．屬于中檔題，分類討論思想的運用，增加了本題的難度，解題時注意．