Question

18．某蛋糕店每天做若干個生日蛋糕，每個制作成本為50元，當天以每個100元售出，若當天白天售不出，則當晚已30元/個價格作普通蛋糕低價售出，可以全部售完．
（1）若蛋糕店每天做20個生日蛋糕，求當天的利潤y（單位：元）關于當天生日蛋糕的需求量n（單位個，n∈N^*）的函數關系；
（2）蛋糕店記錄了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個）整理得下表：

日需求量n	17	18	19	20	21	22	23
頻數（天）	10	20	20	14	13	13	10

（ⅰ）假設蛋糕店在這100天內每天制作20個生日蛋糕，求這100天的日利潤（單位：元）的平均數；
（ⅱ）若蛋糕店一天制作20個生日蛋糕，以100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當天利潤不少于900元的概率．

Answer 1

分析 （1）根每個制作成本為50元，當天以每個100元售出，若當天白天售不出，則當晚已30元/個價格作普通蛋糕低價售出，即可建立分段函數；
（2）（i）這100天的日利潤的平均數，利用100天的銷售量除以100即可得到結論；
（ii）當天的利潤不少于900元，當且僅當日需求量不少于19枝，故可求當天的利潤不少于900元的概率．

解答 解：（1）當日需求量n≥20時，利潤y=1000；當日需求量n＜20時，利潤y=50n-20（20-n）=70n-400；（4分）
∴利潤y關于當天需求量n的函數解析式y=$\left\{\begin{array}{l}{70n-400，n＜20}\\{1000，n≥20}\end{array}\right.$（n∈N^*）（6分）
（2）（i）這100天的日利潤的平均數為$\frac{790×10+860×20+930×20+1000×50}{100}$=937；（9分）
（ii）當天的利潤不少于900元，當且僅當日需求量不少于19枝，故當天的利潤不少于900元的概率為P=0.2+0.14+0.13+0.13+0.1=0.7．（12分）

點評 本題考查函數解析式的確定，考查概率知識，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．