Question

已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：（x-1）²+y²=

1

5

相切，且雙曲線的右焦點為拋物線y²=4

5

x的焦點，則該雙曲線的標準方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出拋物線的焦點，即有c=

5

，設出雙曲線的方程，求出漸近線方程，再由直線和圓相切的條件d=r，得到a=2b，再由a，b，c的關系，解得a，b，進而得到雙曲線方程．

解答： 解：拋物線y²=4

5

x的焦點為（

5

，0），
即有雙曲線的焦點在x軸上，且c=

5

，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
漸近線方程為y=±

b

a

x，
由直線和圓相切的條件：d=r，可得，

| b a |

1+ b2 a2

=

5

5

，化簡得，a=2b，
則c²=a²+b²=5b²=5，解得，b=1，a=2．
則雙曲線的方程為：

x2

4

-y²=1．
故答案為：

x2

4

-y²=1．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質：漸近線方程，考查直線和圓相切的條件，考查運算能力，屬于基礎題．