Question

已知，等差數列{a_n}的公差d＞0，其前n項和為S_n，a₁=1，S₂S₃=36；
（1）求出數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和公式S_n
（2）若數列{b_n}滿足b₁=2，b_n-b_n-1=dⁿ（n≥2），求數列{b_n}的通項公式b_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：本題（1）利用等差數列的前n項和公式，由S₂S₃=36得到公差d的方程，解方程求出d的值，利用等差數列通項及前n項和公式，求出數列的通項及前n項和；（2）利用b_n-b_n-1=dⁿ（n≥2），進行列舉，疊加后得到數列{b_n}的通項公式b_n，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵等差數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n滿足S₂S₃=36，
∴（2a₁+d）（3a₁+3d）=36，
又∵數列{a_n}的公差d＞0，
解得：d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
SSn=

n(a1+an)

2

=n²．
（2）由（1）知：d=2，
∵b₁=2，b_n-b_n-1=dⁿ（n≥2），
∴b₁=2，
b2-b1=22，
b3-b2=23，
b4-b3=24，
…
b_n-b_n-1=2ⁿ，
∴疊加以上各式，得到：
bn=2+22+23+…+2n
∴bn=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查了函數方程思想和疊加法求數學通項，本題難度不大，有一定的計算量，屬于中檔題．