Question

已知函數f（x）=x+

a

x

有如下性質，如果常數a＞0，那么該函數在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)，上是增函數．寫出f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的減區間，并用定義證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：首先，得到f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的減區間：（0，2]，然后，根據單調性的定義進行證明．

解答： 解：f（x）=x+

4

x

，（x＞0）的減區間：（0，2]，證明如下：
任x₁，x₂∈（0，2]設，且x₁＜x₂，則，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=x₁-x₂+

4(x2-x1)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，1-

4

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

，在區間（0，2]上為減函數．

點評：本題重點考查了函數的單調性、函數的單調性定義證明等知識，屬于中檔題．