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如圖1,正方形ABCD在平面直角坐標系內(O為坐標原點),點A,D在x軸上,點B的坐標為(3,3
3
),點F在AD上,且AF=3,過點F且平行于y軸的線段EF與BC交于點E,現將正方形一角折疊使頂點B落在EF上,并與EF上的點G重合,折痕為HI,且知BG=2
3
,B(5,3
3
),點J為折痕HI所在的直線與x軸的交點.
(1)求折痕HI所在直線的函數表達式;
(2)若點P在線段HI上,當△PGI為等腰三角形時,請求出點P的坐標,并寫出解答過程;
(3)①如圖2,在y軸上有一點Q,其坐標為(0,-2k)作直線JQ另有一直線y=
k
2
x-
k
2
,兩直線交于點S,請證明點S在正方形ABCD的AB邊所在直線上;
②在①中,在直線y=
k
2
x-
k
2
上有一點R的橫坐標為-1,那么問
QS-QR
JS
的值為定值嗎?若是定值求出這個值,若不是,則說明理由.
    
考點:曲線與方程
專題:綜合題
分析:(1)設出直線HI:y=kx+b,把h坐標代入直線方程,用k表示b,由B點到HI的距離等于
3
列方程求得k的值,則直線HI的方程可求;
(2)根據(1)求得BG的方程,由I的坐標求得G的坐標,設P(t+2,
3
t
),然后分PG=PI,PG=GI,PI=GI三種情況求得P的坐標;
(3)①由(1)求得J的坐標,結合Q(0,-2k)求得直線JQ的方程,和直線2y=k(x-1)聯立求得S坐標,從而說明S在直線AB(x=3)上.
②求出Q,J,S,R的坐標,再求得QS=3
1+k2
QR=
1+k2
JS=
1+k2
,即可得到
QS-QR
JS
為定值.
解答: 解:(1)設HI:y=kx+b,
∵直線過H(5,3
3
),則3
3
=5k+b
,即:b=3
3
-5k

∵BG=2
3

∴B點到HI的距離=
3
,即:
3
k2+1
=|3k+b-3
3
|=|3k+3
3
-5k-3
3
|

兩邊平方得:3k2+3=4k2,即k=±
3

其中k=-
3
不合題意,舍去.
∴HI:y=
3
x-2
3

(2)根據(1)可得,BG:y=4
3
-
3
3
x
,I(3,
3
),
∴G(6,2
3
),
設P(t+2,
3
t
),則
當PG=PI時,(t-4)2+3(t-2)2=(t-1)2+3(t-1)2,解得t=2,P1(4,2
3
)

當PG=GI時,(t-4)2+3(t-2)2=(6-3)2+(
3
)2
,解得t=4或t=1(舍去,與I點重合),P2(6,4
3
)

當PI=GI時,(t-1)2+3(t-1)2=(6-3)2+(
3
)2
,解得t=1-
3
或t=1+
3

P3(3-
3
,-3+
3
)
P4(3+
3
,3+
3
)

(3)①由(1)得:J(2,0),∵Q(0,-2k),直線2y=k(x-1),
∴JQ:y=k(x-2),
與直線2y=k(x-1)聯立,即得S(3,k),S在直線AB(x=3)上.
②Q(0,-2k),J(2,0),S(3,k),R(-1,-k),
QS=3
1+k2
QR=
1+k2
JS=
1+k2

QS-QR
JS
=
3
1+k2
-
1+k2
1+k2
=2
為定值.
點評:本題考查了曲線方程的求法,考查了分類討論的數學思想方法,正確理解題意是解答該題的關鍵,是中高檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

某校學生參加了“鉛球”和“立定跳遠”兩個科目的體能測試,每個科目的成績分為A,B,C,D.E五個等級,該校某班學生兩科目測試成績的數據統計如圖所示,其中“鉛球”科目盼成績為E的學生有8人.

(I)求該班學生中“立定跳遠”科目中成績為A的人數;
(Ⅱ)已知該班學生中恰有2人的兩科成績等級均為A,在至少一科成績等級為A的學生中,隨機抽取2人進行訪談,求這2人的兩科成績等級均為A的概率.

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科目:高中數學 來源: 題型:

lim
n→∞
an
n+a
=1,則常數a=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

球O的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=2,∠ASC=∠BSC=
π
4
,則棱錐A-SBC的體積為(  )
A、
4
3
B、
8
3
C、
4
2
3
D、
4
3
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

OP1
=
a
OP2
=
b
P1P
PP2
(λ≠-1)
,則
OP
=(  )
A、
a
b
B、λ
a
+(1-λ)
b
C、λ
a
+
b
D、
1
1+λ
a
+
λ
1+λ
b

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科目:高中數學 來源: 題型:

若圓的半徑是6cm,而15°的圓心角所對的弧長是
 
,所對扇形的面積是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的等邊三角形,SC為球O的直徑,若三棱錐S-ABC的體積為
2
6
,則球O的表面積是(  )
A、4π
B、
3
4
π
C、3π
D、
4
3
π

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x+
a
x
有如下性質,如果常數a>0,那么該函數在(0,
a
]
上是減函數,在[
a
,+∞)
,上是增函數.寫出f(x)=x+
4
x
,(x>0)的減區間,并用定義證明.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知全集U={x|2≤x≤10,且x∈N}.集合A={3,4,6,8},B={3,5,8,9},那么集合{2,7,10}=(  )
A、A∪B
B、A∩B
C、(∁UA)∩(∁UB)
D、(∁UA)∪(∁UB)

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