Question

【題目】已知梯形中，,,,,是上的點，是的中點，沿將梯形折起，使平面平面.

（1）當時，求證：；

（2）記以為頂點的三棱錐的體積為，求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】證明見解析；最大值

【解析】

(1)由平面平面,,可得,進而由面面垂直的性質定理得到平面,進而建立空間坐標系,求出的方向向量,根據兩個向量的數量積為,即可證得;

(2)根據等體積法,我們可得的解析式,根據二次函數的性質,易求出有最大值;

(3)根據(2)的結論,我們求出平面和平面的法向量,代入向量夾角公式即可得到二面角的余弦值.

解：(1)證明：因為平面平面,

,,

,平面,

,,

又,故可如圖建立空間坐標系：

又因為是的中點,,.

則,,

,

(2)平面,

所以

,

即：時有最大值為

(3)設平面的法向量為,

,、、,

、,

則,

即

取

平面

平面一個法向量為

則.