Question

【題目】在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)簡(jiǎn)記為，若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，（其中是與軸正方向相同的單位向量），則稱(chēng)為“點(diǎn)列”.

（1）試判斷：，...是否為“點(diǎn)列”？并說(shuō)明理由.

（2）若為“點(diǎn)列”，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方.任取其中連續(xù)三點(diǎn)，判斷的形狀（銳角，直角，鈍角三角形），并證明.

（3）若為“點(diǎn)列”，正整數(shù)滿足：，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）是“點(diǎn)列”,理由見(jiàn)解析；（2）鈍角三角形，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)所給的個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察出數(shù)列的通項(xiàng)公式，把數(shù)列的通項(xiàng)代入新定義的數(shù)列，驗(yàn)證數(shù)列滿足，得到是點(diǎn)列的結(jié)論．
（2）用所給的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)造三個(gè)向量，寫(xiě)出三個(gè)向量的坐標(biāo)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角的大小問(wèn)題，判斷出兩個(gè)向量的數(shù)量積小于零，得到兩個(gè)向量所成的角是鈍角，得到結(jié)果．
（3）本題是要求判斷兩組向量的數(shù)量積的大小，根據(jù)兩個(gè)數(shù)列各自的項(xiàng)之間的大小關(guān)系，即可得到向量的數(shù)量積之間的關(guān)系．

解：（1）由題意可知，

，
，

，
∴是點(diǎn)列；
（2）在中，
，，
，
∵點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，
，
∵是點(diǎn)列，
，
，則，

為鈍角，
為鈍角三角形；
（3），
①
②
同理③
由于是點(diǎn)列，于是④
由①、②、③、④可推得，
，

又由（1）知
．