Question

在△ABC中，B（5，0），C（-5，0），點A滿足sinB-sinC=

1

2

sinA，試確定點A的軌跡及其方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,正弦定理

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：△ABC中，利用正弦定理，將sinB-sinC=

1

2

sinA轉(zhuǎn)化為b-c=

1

2

a，再由雙曲線的概念即可求其軌跡方程．

解答： 解：∵B（5，0），C（-5，0），點A滿足sinB-sinC=

1

2

sinA，
∴由正弦定理得b-c=

1

2

a，即|AC|-|AB|=

1

2

|BC|=5，
∴點A在以B（-5，0）、C（5，0）為焦點，即c=5；實軸長為5，即a=2.5的雙曲線的左支上，
∴b²=c²-a²=

75

4

．
又A、B、C構(gòu)成三角形，故點C與A，B不共線，
∴頂點A的軌跡方程為：

x2

25 4

-

y2

75 4

=1（x＜-2.5）．

點評：本題考查正弦定理，考查雙曲線的概念與標準方程，考查理解與運算能力，屬于中檔題．