Question

15．設公比q＞0的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，數列{b_n}的前n項和為T_n，滿足b₁=1，T_n=n²b_n，n∈N*．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若C_n+1＜C_n，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S₄=5S₂求出q得到通項公式，又$\left\{{\begin{array}{l}{{T_n}={n^2}{b_n}}\\{{T_{n-1}}={{（n-1）}^2}{b_{n-1}}}\end{array}}\right.$，兩式作差得$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n+1}$然后求解{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）通過${S_n}={2^n}-1$化簡${C_n}={2^n}（\frac{2}{n+1}-λ）$，利用C_n+1＜C_n，求出實數λ的不等式，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S₄=5S₂即${S_2}+{S_2}{q^2}=5{S_2}$，
∴q²=4，又∵q＞0，∴q=2，
∴${a_n}={2^{n-1}}$…2分
又$\left\{{\begin{array}{l}{{T_n}={n^2}{b_n}}\\{{T_{n-1}}={{（n-1）}^2}{b_{n-1}}}\end{array}}\right.$（n≥2），兩式作差得$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{n-1}{n+1}$（n≥2）
得${b_n}=\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}•\frac{{{b_{n-1}}}}{{{b_{n-2}}}}•…•\frac{b_2}{b_1}•{b_1}=\frac{2}{n•（n+1）}$，
當n=1時也滿足，故${b_n}=\frac{2}{n•（n+1）}$．                 …4分
（Ⅱ）∵${S_n}={2^n}-1$
∴${C_n}={2^n}（\frac{2}{n+1}-λ）$，…6分
則${C_{n+1}}-{C_n}={2^n}（\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}-λ）＜0$對n∈N*都成立，
即$λ＞\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}$對n∈N*都成立                   …8分
而$\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}=\frac{2n}{（n+1）（n+2）}=\frac{2}{{n+\frac{2}{n}+3}}$
故當n=1或n=2時${（\frac{4}{n+2}-\frac{2}{n+1}）_{max}}=\frac{1}{3}$，
∴$λ＞\frac{1}{3}$…10分．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，數列與不等式的關系，函數的最值的求法，考查計算能力．