Question

11．已知a_n=n，b_n=n+1，則數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n項和為S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由：$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂項法”即可求得數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n項和為S_n．

解答 解：由：$\frac{1}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n項和為S_n=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{b_n}}}}\right\}$的前n項和為S_n=$\frac{n}{n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數列前n項和的求法，考查“裂項法”求數列前n項和的應用，考查計算能力，屬于中檔題．