Question

已知函數f（x）=log_a

x-1

x+1

（a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）討論f（x）在（1，+∞）上的單調性，并用定義證明；
（3）令g（x）=1+log_ax，當[m，n]?（1，+∞）（m＜n）時，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求函數的定義域，（2）然后利用定義法求證函數的單調性，（3）利用函數的單調性和函數的值域得方程，利用對數的性質解方程即可得實數a的取值范圍．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由題意得

x-1

x+1

＞0，其定義域是（-∞，-1）∪（1，+∞）----------------（2分）
（2）當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數；
當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數；----------------（4分）
證明：在（1，+∞）上任取x₁，x₂，設x₁＜x₂，

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

因為1＜x₁＜x₂，x₁-x₂＜0

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
即 

x1-1

x1+1

＜

x2-1

x2+1

----------------（6分）
當0＜a＜1時，loga

x1-1

x1+1

＞loga

x2-1

x2+1

，
即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是減函數；
當a＞1時，loga

x1-1

x1+1

＜loga

x2-1

x2+1

，
即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（1，+∞）上是增函數；-----------（9分）
（3）由已知得g（n）＜g（m），故0＜a＜1，f（x）在（1，+∞）上是減函數；

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

，由loga

x-1

x+1

=1+logax-----------（11分）
得

x-1

x+1

=ax，即ax²+（a-1）x+1=0的兩根均大于1
即 

△＞0 f(1)＞0 1-a 2a ＞1

，解得0＜a＜3-2

2

-----------（14分）

點評：本題考查函數的定義域值域和單調性，屬于函數性質的綜合應用，屬于中檔題目，應熟練掌握函數的性質，函數為高考中的熱點．