Question

如圖邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形（點A′∉平面ABC），則下列命題中正確的是

 

．
①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-FED的體積有最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：由面A′FG⊥面ABC，可知點A′在面ABC 上的射影在線段AF 上；由已知可得四邊形ABCD 是菱形，從而面A′FG⊥面ABC；當面A′DE⊥面ABC 時，三棱錐A′-DEF 的體積達到最大．

解答： 解：在①中，由面A′FG⊥面ABC，
可知點A′在面ABC 上的射影在線段AF 上，∴①正確；
在②中，由已知可得四邊形ABCD 是菱形，
則DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，∴②正確；
在③中，∵BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，
當面A′DE⊥面ABC 時，三棱錐A′-DEF 的體積達到最大，
最大值為

1

3

×

1

4

×

3

4

a2×

3

4

a=

1

64

a3，∴③正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養．