Question

如圖所示，已知PD垂直以AB為直徑的圓O所在平面，點D在線段AB上，點C為圓O上一點，且BD=

3

PD=3，AC=2AD=2．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求點B到平面PAC的距離．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據線面垂直的性質證明CD⊥平面PAB即可．
（2）根據體積相等，建立體積關系即可得到結論．

解答： 證明：（1）由BD=

3

PD=3，AC=2AD=2．知AB=4，A0=2，則點D為AO的中點，
連OC，
∵AO=AC=OC=2A，∴△AOC為等邊三角形，
∵D為AO的中點，∴CD⊥AO，
∵PD⊥平面ABC，CD?面ABC，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO=D，PD?面PAB，AO?面PAB，
∴CD⊥平面PAB，
∵PA?面PAB，
∴PA⊥CD；
解：（2）由（1）知CD⊥AB，CD=

3

，S△ABC=

1

2

×4×

3

=2

3

，
∵PD⊥平面ABC，VP-ABC=

1

3

S△ABC×PD=

1

3

×2

3

×

3

=2，
則直角三角形PCD中，PC=

PD2+CD2

=

6

，
在直角三角形PAD中，PA=

PD2+AD2

=2，
在等腰三角形PAC中，PC邊上的高為

22-( 6 2 )2

=

10

2

，
S△APC=

1

2

×

6

×

10

2

=

15

2

，
設B到平面PAC的距離為d，由V_P-ABC=V_B-PAC，
∴

1

3

×

15

2

×d=2，
解得d=

4 15

5

，
即點B到平面PAC的距離

4 15

5

點評：本題主要考查線面垂直的性質以及點到平面的距離的計算，根據體積相等是解決本題的關鍵．