Question

數列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列{b_n}是首項為a₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且b₁，b₃，b₉成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=

2

(n+1)bn

(n∈N*)，試求數列{c_n}的前n項和T_n，并證明不等式

1

2

≤T_n＜1成立．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，由此能求出數列{a_n}的通項公式；b₁=a₁=2，設公差為d，由b₁，b₃，b₉成等比數列，解得d=0（舍）或d=2，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出數列{c_n}的前n項和，并能證明

1

2

≤T_n＜1．

解答： （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
又a1=S1=22-2=2，滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為an=2n，
b₁=a₁=2，設公差為d，
則由b₁，b₃，b₉成等比數列，
得（2+2d）²=2（2+8d），解得d=0（舍）或d=2，
∴數列{b_n}的通項公式為b_n=2n．…．（6分）
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1..…．（11分）
又∵T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+2)

＞0，
∴Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

，
∴

1

2

≤T_n＜1．…．（13分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．