Question

已知等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式（

x

-

1

3x

）⁶展開式的常數(shù)項(xiàng)，則a₃a₇=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．再根據(jù)該項(xiàng)是等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得a₃a₇的值．

解答： 解：二項(xiàng)式（

x

-

1

3x

）⁶展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 6

•(-

1

3

)r•x3-

3r

2

，
令3-

3r

2

=0，求得r=2，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為

C

2 6

•

1

9

=

5

3

．
等比數(shù)列{a_n}的第5項(xiàng)a₅=

5

3

，可得a₃a₇=(a5)2=

25

9

，
故答案為：

25

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．