Question

如圖，有三個并排放在一起的正方形，∠AGB=α，∠AFB=β．
（1）求α+β的度數；
（2）求函數y=sin²x+

3

sinxcosx-1的最大值及取得最大值時候的x值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數

專題：三角函數的求值

分析：（1）不妨設正方形邊長為1，易知tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，由兩角和的正切公式可得tan（α+β）=1，由角的范圍可得；
（2）化簡可得y=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，由正弦函數的最值可得．

解答： 解：（1）不妨設正方形邊長為1，易知tanα=

1

2

，tanβ=

1

3

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1，
又∵α和β均為銳角，∴0＜α+β＜π，
∴α+β=

π

4

（2）化簡可得y=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

∴當2x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

3

（k∈Z）時，函數y的最大值為

1

2

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，涉及三角函數的最值，屬基礎題．