Question

11．已知關(guān)于x的不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0對于所有的實(shí)數(shù)x都成立，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 分a=0和a≠0討論，當(dāng)a≠0時(shí)需a＜0，且對應(yīng)二次方程的判別式小于0，聯(lián)立不等式求解a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0可化為-x-1＜0，即x＞-1．
不滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0對于所有的實(shí)數(shù)x都成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{（a-1）^{2}-4a（a-1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{3{a}^{2}-2a-1＞0}\end{array}\right.$．
解得：a＜-$\frac{1}{3}$．
綜上，使不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0對于所有的實(shí)數(shù)x都成立的a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了“三個二次”結(jié)合求解含參數(shù)的范圍問題，是中檔題．