Question

已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延長CA到P，再延長AB

到Q，使AP=BQ.求證：O，A，P，Q四點共圓.

Answer 1

證明  連接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.

∴∠OCP=∠OAC.

由于等腰三角形的外心在頂角的平分線上，

∴∠OAC=∠OAQ，

從而∠OCP=∠OAQ，

在△OCP和△OAQ中，

由已知CA=AB，AP=BQ，

∴CP=AQ.又OC=OA，

∠OCP=∠OAQ，

∴△OCP≌△OAQ，

∴∠CPO=∠AQO，

∴O，A，P，Q四點共圓.

解析:

證明  連接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.

∴∠OCP=∠OAC.

由于等腰三角形的外心在頂角的平分線上，

∴∠OAC=∠OAQ，

從而∠OCP=∠OAQ，

在△OCP和△OAQ中，

由已知CA=AB，AP=BQ，

∴CP=AQ.又OC=OA，

∠OCP=∠OAQ，

∴△OCP≌△OAQ，

∴∠CPO=∠AQO，

∴O，A，P，Q四點共圓.