Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，點F₁、F₂是其左右焦點，點P（5，y₀）與點Q是雙曲線上關于坐標原點對稱的兩點，則四邊形F₁QF₂P的面積為6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求出a，可得雙曲線方程，代入x=5，可得P的坐標，即可求出四邊形F₁QF₂P的面積．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴a=4，
∴雙曲線方程是$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
x=5代入，可得y₀=$±\frac{3}{2}$，
∴四邊形F₁QF₂P的面積為2×$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\frac{3}{2}$=6$\sqrt{5}$．
故答案為：6$\sqrt{5}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查四邊形F₁QF₂P的面積的計算，求出雙曲線的方程是關鍵．