Question

10．圓心在直線$y=\frac{1}{3}x$上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為$4\sqrt{2}$，則圓C的標準方程為（　　）

• A． （x-3）²+（y-1）²=9
• B． （x+3）²+（y+1）²=9
• C． ${（{x-4}）^2}+{（{y-\frac{4}{3}}）^2}=16$
• D． （x-6）²+（y-2）²=9

Answer 1

分析 由圓心在直線$y=\frac{1}{3}x$上，設出圓心坐標，再根據圓與y軸相切，得到圓心到y軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．

解答 解：設圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
∵圓C截x軸所得弦的長為$4\sqrt{2}$，
∴t²+8=9t²，
∴t=±1，
∵圓C與y軸的正半軸相切，
∴t=-1不符合題意，舍去，
故t=1，3t=3，
∴（x-3）²+（y-1）²=9．
故選A．

點評 此題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據題意設出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關鍵．