Question

D，E是平行四邊形OACB的對角線AB的三等分點（D靠近A），設

OA

=a，

OB

=b．
（1）用

a

，

b

表示

OC

，

OD

，

OE

；
（2）證明：

OD

=

EC

．

Answer 1

分析：（1）根據向量的加、減法法則和線性運算性質，不難得出用

a

、

b

表示

OC

、

OD

、

OE

的式子；
（2）由向量的減法法則得

EC

=

OC

-

OE

，結合（1）的結論算出

EC

=

2

3

a

+

1

3

b

，即可證出

OD

=

EC

．

解答：解：（1）根據向量加法的平行四邊形法則，
可得

OC

=

OA

+

OB

=

a

+

b

∵D是AB的三等分點（D靠近A），
∴

AD

=

1

3

AB

=

1

3

(

OB

-

OA

)=

1

3

（

b

-

a

）
因此，

OD

=

OA

+

AD

=

a

+

1

3

（

b

-

a

）=

2

3

a

+

1

3

b

同理可得

OE

=

1

3

a

+

2

3

b

（2）∵

EC

=

OC

-

OE

，由（1）得

OC

=

a

+

b

，

OE

=

1

3

a

+

2

3

b

∴

EC

=

a

+

b

-（

1

3

a

+

2

3

b

）=

2

3

a

+

1

3

b

因此，

EC

=

OD

=

2

3

a

+

1

3

b

，命題得證．

點評：本題給出平行四邊形，求用向量

a

、

b

表示其它一些向量的式子，并求證向量相等．著重考查了平面向量的加法、減法法則和向量線性運算等知識，屬于基礎題．