Question

設O為坐標原點，A（4，a），B（b，8），C（a，b），
（1）若四邊形OABC是平行四邊形，求∠AOC的大小；
（2）在（1）的條件下，設AB中點為D，OD與AC交于E，求

OE

．

Answer 1

分析：（1）利用向量相等即可得出；
（2）利用中點坐標公式、向量共線的充要條件即可得出．

解答：解：（1）由題意得：

OA

=(4，a)，

CB

=(b-a，8-b)，
∵四邊形OABC是平行四邊形，∴

OA

=

CB

得

b-a=4 8-b=a

⇒

a=2 b=6

．

OA

=(4，2)，

OC

=(2，6)，

OA

•

OC

=8+12=20，
又

OA

•

OC

=|

OA

||

OC

|cos∠AOC=2

5

×2

10

×cos∠AOC=20

2

cos∠AOC
∴cos∠AOC=

2

2

．
∵0°＜∠AOC＜180°，∴∠AOC=45°．
（2）∵為AB中點，∴D的坐標為（5，5），
又由

OE

=λ

OD

，故E的坐標為（5λ，5λ）．
∴

CE

=(5λ-2，5λ-6)，

CA

=(2，-4)
∵A，E，C三點共線，∴

CE

∥

CA

．
得-4×（5λ-2）=（5λ-6）×2，解得λ=

2

3

，從而

OE

=(

10

3

，

10

3

)．

點評：熟練掌握向量相等、中點坐標公式、向量共線的充要條件是解題的關鍵．