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已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的中點，連結DE.

（1）如圖，求證：DE是⊙O的切線；

（2）連結OE、AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形，并在此條件下求sin∠CAE的值.

思路解析：抓住各角度之間的聯系進行轉化.

（1）證明：連結OD、DB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°.

∴∠CDB=90°.

∵E為BC邊上的中點，

∴CE=EB=DE.

∴∠1=∠2.

∵OB=OD，∴∠3=∠4.

∴∠1+∠4=∠2+∠3.

∵在Rt△ABC中，∠ABC=∠2+∠3=90°，∴∠EDO=∠1+∠4=90°.

∵D為⊙O上的點，

∴DE是⊙O的切線.

（2）解：∠CAB=45°，sin∠CAE=.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點D．
（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點E，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，若⊙O在AB邊上截得的弦FG=
2
31
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，求⊙O的半徑．精英家教網

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科目：高中數學 來源： 題型：

（A）（不等式選做題）不等式|x+1|-|x-2|＞2的解集為
(
3
2
，+∞)
(
3
2
，+∞)
．
（B）（幾何證明選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為6cm，8cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則AD=
18
5
(或3.6)
18
5
(或3.6)
cm．
（C）（坐標系與參數方程選做題）圓C的參數方程
x=1+cosα
y=1-sinα
（α為參數），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點的直角坐標是
（0，1），或（2，1）
（0，1），或（2，1）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖2-3-5,已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑,作⊙O與斜邊AC交于點D,E為BC邊上的中點,連結DE.

求證:DE是⊙O的切線.

圖2-3-5

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科目：高中數學 來源：2010年福建省泉州市永春一中、培元中學、季延中學、石光華僑中學聯考高三（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點D．
（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點E，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，若⊙O在AB邊上截得的弦FG=，求⊙O的半徑．

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