Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點D．
（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點E，求⊙O的半徑；
（2）如圖2，若⊙O在AB邊上截得的弦FG=

2 31

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）由于AB和圓相切，所以連接OE，利用相似即可求出OE．
（2）已知弦長，求半徑，要做弦的弦心距，構造直角三角形，利用勾股定理求出未知量．

解答：解：（1）連接OE，因為⊙O與AB相切于點E，所以OE⊥AB，
設OE=x，則CO=x，AO=4-x，
∵⊙O與AB相切于點E，
∴∠AEO=90°，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，
∴

x

3

=

4-x

5

，
解得：x=

3

2

，
∴⊙O的半徑為

3

2

．
（2）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，則H為FG的中點，FH=

1

2

FG=

31

5

，

連接OF，設OF=x，則OA=4-x，
由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=

12-3x

5

，
在Rt△OHF中，據勾股定理得：OF²=FG²+OH²，
∴x²=（

31

5

）²+（

12-3x

5

）²，
解得x₁=

7

4

，x₂=-

25

4

（舍去），
∴⊙O的半徑為

7

4

．

點評：本題綜合考查了切線的性質，相似三角形，解直角三角形等知識點的運用．是一道運用切線性質解題的典型題目，難度中等．