Question

9．（1）已知（1+2x）ⁿ的展開式中第6項和第7項的系數相等，求n及二項式系數的最大項．
（2）已知${（2-\sqrt{3}x）^{50}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{50}}{x^{50}}$，求 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²的值．

Answer 1

分析 （1）利用（1+2x）ⁿ展開式中的第6項和第7項系數相等，求出n的值，從而求出展開式中二項式系數最大的項；
（2）用賦值法，分別令x=1和x=-1，求出（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀）•（a₀-a₁+a₂ -a₃+a₄+…-a₄₉+a₅₀）的值即可．

解答 解：（1）（1+2x）ⁿ的展開式中第6項和第7項的系數相等，
即C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，
化簡得1=$\frac{n-5}{6}$×2，
解得n=8，
所以展開式中二項式系數最大的項是第5項：
為${C}_{8}^{4}$•（2x）⁴=70×16x⁴=1120x⁴；
（2）在${（2-\sqrt{3}x）^{50}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{50}}{x^{50}}$中，
令x=1，得${（2-\sqrt{3}）}^{50}$=a₀+a₁+a₂+…+a₅₀，…①
令x=-1，得${（2+\sqrt{3}）}^{50}$=a₀-a₁+a₂-…+a₅₀，…②
①②相乘得
（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀）•（a₀-a₁+a₂ -a₃+a₄+…-a₄₉+a₅₀）
=（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₄₉）²
=[（2-$\sqrt{3}$）（2+$\sqrt{3}$）]⁵⁰，
=1⁵⁰
=1．

點評 本題主要考查了二項式定理的應用問題，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡化運算，也考查了二項展開式的通項公式問題，是綜合性題目．