Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象經過點（0，

1

2

），且相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及其單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若f（

A

2

）-cosA=

1

2

，且bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知點坐標代入求出φ的值，根據題意確定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可確定出函數f（x）的解析式，利用正弦函數的單調性確定出單調遞增區間即可；
（Ⅱ）由第一問確定出的解析式，表示出f（

A

2

），代入已知等式求出A的度數，利用余弦定理列出關系式，把cosA的值代入，變形后將bc與b+c的值代入即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）把（0，

1

2

）代入解析式得：sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，
∵相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

，
∴函數的周期為π，即ω=2，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由第一問得：f（

A

2

）=sin（A+

π

6

），
代入得：sin（A+

π

6

）-cosA=

3

2

sinA+

1

2

cosA-cosA=

3

2

sinA-

1

2

cosA=sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或

5π

6

，即A=

π

3

或A=π（舍去），
∵bc=1，b+c=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3=6，
則a=

6

．

點評：此題考查了余弦定理，正弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．