Question

14．一個不透明的袋子中裝有4個形狀相同的小球，分別標有不同的數字2，3，4，x，現從袋中隨機摸出2個球，并計算摸出的這2個球上的數字之和，記錄后將小球放回袋中攪勻，進行重復試驗．記A事件為“數字之和為7”．試驗數據如下表：

摸球總次數	10	20	30	60	90	120	180	240	330	450
“和為7”出現的頻數	1	9	14	24	26	37	58	82	109	150
“和為7”出現的頻率	0.10	0.45	0.47	0.40	0.29	0.31	0.32	0.34	0.33	0.33

（參考數據：0.33$≈\frac{1}{3}$）
（Ⅰ）如果試驗繼續下去，根據上表數據，出現“數字之和為7”的頻率將穩定在它的概率附近．試估計“出現數字之和為7”的概率，并求x的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設定一種游戲規則：每次摸2球，若數字和為7，則可獲得獎金7元，否則需交5元．某人摸球3次，設其獲利金額為隨機變量η元，求η的數學期望和方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數據表，利用頻率估計概率，列方程求出x的值；
（Ⅱ）根據題意，ξ～（3，$\frac{1}{3}$），計算Eξ、Dξ，和Eη、Dη的值．

解答 解：（Ⅰ）由數據表可知，當試驗次數增加時，頻率穩定在0.33附近，
所以可以估計“出現數字之和為7”的概率為$\frac{1}{3}$；      （2分）
∵P（A）=$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{{C}_{4}^{2}}$，∴A事件包含兩種結果，
則有3+4=2+x=7，解得x=5；    （5分）
（Ⅱ）設ξ表示3次摸球中A事件發生的次數，
則ξ～（3，$\frac{1}{3}$），Eξ=3×$\frac{1}{3}$=1，
Dξ=3×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$；                     （8分）
則η=7ξ-5（3-ξ）=12ξ-15，
Eη=E（12ξ-15）=12Eξ-15=12-15=-3，（10分）
Dη=D（12ξ-15）=144Dξ=144×$\frac{2}{3}$=96；          （12分）
（注：（2）問也可以利用分布列去計算數學期望和方差）

點評 本題考查了離散型隨機變量的應用問題，是中檔題．