Question

6．函數f（x）=|x-1|+|x-3|+e^x（x≥0）的最小值是6-2ln2．

Answer 1

分析 通過討論x的范圍，去掉絕對值，求出得到區間上的x的最小值，從而求出函數的最小值即可．

解答 解：x∈[0，1）時，f（x）=1-x+3-x+e^x=4-2x+e^x，
f′（x）=e^x-2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f（x）在[0，ln2）遞減，在（ln2，1）遞增，
故f（x）_min=f（ln2）=4-2ln2+e^ln2=6-2ln2，
x∈[1，3）時，f（x）=x-1+3-x+e^x=2+e^x≥2+e，
x∈[3，+∞）時，f（x）=x-1+x-3+e^x=2x-4+e^x≥2+e³，
綜上，f（x）的最小值是6-2ln2．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．