Question

9．已知sinα=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，且α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），則sin（α-β）的值等于（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{10\sqrt{2}}}{27}$

Answer 1

分析 由α，β都是銳角，得出2α、α+β的范圍，由sinα和cos（α+β）的值，利用同角三角函數間的基本關系分別求出sin2α和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角（α-β）變為2α-（α+β），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把各自的值代入即即可求出值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2α∈（0，π），
∵sinα=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴cos2α=1-2sin²α=-$\frac{7}{9}$，
∴sin2α=$\sqrt{1-co{s}^{2}2α}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
而α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α-β）=sin[2α-（α-β）]=sin2αcos（α+β）-cos2αsin（α+β）=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$×（-$\frac{1}{3}$）-（-$\frac{7}{9}$）×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}}{27}$．
故選：D．

點評 此題考查了同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．