Question

函數f（x）是R上的增函數，且f（sinω）+f（-cosω）＞f（cosω）+f（-sinω），其中ω是銳角，并且使得函數g（x）=sin（ωx+

π

4

）在（

π

2

，π）內單調遞減，則ω的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,三角函數的圖像與性質

分析：sinω與cosω的關系要么sinω＞cosω，要么sinω≤cosω，根據已知條件容易判斷出sinω＞cosω，由ω為銳角便得到

π

4

＜ω＜

π

2

．而由g（x）在(

π

2

，π)單調遞減便得到g′（x）=ωcos(ωx+

π

4

)≤0在（

π

2

，π）內恒成立，所以得到cos（ωx+

π

4

）≤0，在（

π

2

，π）上恒成立，所以函數cos（ωx+

π

4

）的周期

2π

ω

≥π，所以

π

4

＜ω≤2．根據此時的ω范圍可得到ω只需再滿足πω+

π

4

≤

3π

2

，解得ω≤

5

4

，所以最后得到ω的范圍是（

π

4

，

5

4

]．

解答： 解：①若sinω＞cosω，則-cosω＞-sinω；
∵f（x）是R上的增函數；
∴f（sinω）＞f（cosω），f（-cosω）＞f（-sinω）；
∴符合f（sinω）+f（-cosω）＞f（cosω）+f（-sinω）；
∵ω是銳角；
∴

π

4

＜ω＜

π

2

；
②若sinω≤cosω，則-cosω≤-sinω；
∴f（sinω）+f（-cosω）≤f（cosω）+f（-sinω），顯然與已知矛盾，即這種情況不存在；
g′（x）=ωcos（ωx+

π

4

）；
∴由已知條件知，cos（ωx+

π

4

）≤0在x∈(

π

2

，π)上恒成立；
∴函數cos（ωx+

π

4

）的周期

2π

ω

≥2•(π-

π

2

)=π；
∴ω≤2；
∴

π

4

＜ω≤2；
由

π

2

＜x＜π得，

πω

2

+

π

4

＜ωx+

π

4

＜πω+

π

4

；
∴

π 2 ≤ πω 2 + π 4 πω+ π 4 ≤ 3π 2

，解得：

1

2

≤ω≤

5

4

；
∴

π

4

＜ω≤

5

4

；
∴ω的取值范圍是(

π

4

，

5

4

]．
故答案為：（

π

4

，

5

4

]．

點評：考查增函數的定義，x是銳角時，滿足sinx＞cosx的x的范圍的求解，三角函數函數周期的定義及求法，以及函數單調性和函數導數符號的關系．