Question

11．已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（c+a，b），$\overrightarrow{n}$=（c-a，b-c），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（c+a）（c-a）+b（b-c）=0，化為：c²+b²-a²=bc．利用余弦定理即可得出．
（2）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，利用和差公式可得：a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=6sin$（C+\frac{π}{6}）$+3，再利用三角函數的單調性值域即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（c+a）（c-a）+b（b-c）=c²-a²+b²-bc=0，化為：c²+b²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$（sin（$\frac{2π}{3}-C$）+sinC）
=6sin$（C+\frac{π}{6}）$+3，
∵C∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（C+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴sin$（C+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴a+b+c∈（6，9]．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數的單調性值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．