Question

16．已知函數f（x）（sinx+cosx）²+2cos²x-2
（1）求函數f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值時x取值集合；
（3）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期；
（2）根據三角函數的性質即可得f（x）的最大值，以及取得最大值時x取值集合；
（3）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
化簡可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x-2=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：x=$kπ+\frac{π}{8}$．
∴當x=$kπ+\frac{π}{8}$時，f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$．
∴取得最大值時x取值集合為{x|x=$kπ+\frac{π}{8}$，k∈Z}．
（3）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，
可得：2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$-\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤1．
故得當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，函數f（x）的值域為[$-\sqrt{2}$，1]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．