Question

4．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=n²-4n，數列{b_n}中，b₁=$\frac{a_2}{{3+{a_3}}}$對任意正整數$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在實數μ，使得數列{3ⁿ•b_n+μ}是等比數列？若存在，請求出實數μ及公比q的值，若不存在，請說明理由；
（3）求證：$\frac{1}{4}≤{b_1}+{b_2}+…+{b_n}＜\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=S₁=-3，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．
（2）法一：假設存在實數μ，使數列{3ⁿ•b_n+μ}是等比數列，且公比為q．因為對任意正整數$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$，${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，可令n=2，3，得  b₂，b₃．根據{3ⁿb_n+μ}是等比數列，可得：$（μ+\frac{13}{4}）^{2}$=$（μ-\frac{3}{4}）$$（μ-\frac{35}{4}）$，解得 μ，代入可得 $\frac{{3}^{n}{b}_{n}-\frac{1}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=-3  （n≥2）即可證明．
法二：因為對任意正整數$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$．所以${3}^{n}{b}_{n}=-3•{3}^{n-1}{b}_{n-1}+1$，設3ⁿb_n+μ=-3（3^n-1b_n-1+μ），可得-4μ=1，即可證明．
（3）由a₂=-1，a₃=1，可得${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，$3{b_1}-\frac{1}{4}=-1$，可得${3^n}{b_n}-\frac{1}{4}=-1•{（-3）^{n-1}}$，即${b_n}={（-1）^n}•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，利用等比數列的求和公式即可得出．對n分類討論，利用數列的單調性即可證明．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=-3，…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-（n-1）²+4（n-1），
即a_n=2n-5，…（3分）
n=1也適合，所以a_n=2n-5．…（4分）
（2）法一：
假設存在實數μ，使數列{3ⁿ•b_n+μ}是等比數列，且公比為q．…（5分）
因為對任意正整數$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$，${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，
可令n=2，3，得  b₂=$\frac{13}{36}$，b₃=-$\frac{35}{108}$．…（6分）
因為{3ⁿb_n+μ}是等比數列，所以$（μ+\frac{13}{4}）^{2}$=$（μ-\frac{3}{4}）$$（μ-\frac{35}{4}）$，解得 μ=-$\frac{1}{4}$ …（7分）
從而 $\frac{{3}^{n}{b}_{n}-\frac{1}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=$\frac{1-{3}^{n}{b}_{n}-\frac{1}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=$\frac{-{3}^{n}{b}_{n}+\frac{3}{4}}{{3}^{n-1}{b}_{n-1}-\frac{1}{4}}$=-3  （n≥2）…（9分）
所以存在實數μ=-$\frac{1}{4}$，公比為q=-3．…（10分）
法二：因為對任意正整數$n≥2，{b_{n+1}}+{b_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}$．所以${3}^{n}{b}_{n}=-3•{3}^{n-1}{b}_{n-1}+1$，
設3ⁿb_n+μ=-3（3^n-1b_n-1+μ），則-4μ=1，…（8分）
所以存在$μ=-\frac{1}{4}$，且公比$q=\frac{{{3^n}{b_n}-\frac{1}{4}}}{{{3^{n-1}}{b_{n-1}}-\frac{1}{4}}}=-3$．…（10分）
（3）因為a₂=-1，a₃=1，所以${b_1}=\frac{a_2}{{3+{a_3}}}=-\frac{1}{4}$，$3{b_1}-\frac{1}{4}=-1$，
所以${3^n}{b_n}-\frac{1}{4}=-1•{（-3）^{n-1}}$，即${b_n}={（-1）^n}•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，…（12分）
于是b₁+b₂+…+b_n=$（-1）•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^0}$+$（-1）^{2}•\frac{1}{3}$+$\frac{1}{12}×\frac{1}{3}$+…$+{（-1）^n}•\frac{1}{3}+\frac{1}{12}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$=$\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{6}+\frac{{\frac{1}{12}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{6}+\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）$=$\frac{{{{（-1）}^n}-1}}{6}+\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）$…（13分）
當是奇數時：b₁+b₂+…+b_n=$-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）=-\frac{5}{24}-\frac{1}{8}•\frac{1}{3^n}$，關于遞增，
得$-\frac{1}{4}$≤b₁+b₂+…+b_n＜$-\frac{5}{24}$．…（14分）
當是偶數時：b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3^n}）$，關于遞增，
得  $\frac{1}{9}$≤b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{8}$．…（15分）
綜上，$-\frac{1}{4}$≤b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{1}{8}$．…（16分）

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．