Question

12．如圖，四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD=DC=4，AD=2，E為PC的中點．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求三棱錐APDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得PD⊥AD，AD⊥DC，由線面垂直的判定得AD⊥平面PDC，則AD⊥PC；
（2）由已知求解直角三角形可得DE=PE=$2\sqrt{2}$，從而求得△PED的面積，再由三棱錐體積公式求得三棱錐A-PDE的體積．

解答 （1）證明：如圖，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又底面ABCD為矩形，∴AD⊥DC，
又PD∩DC=D，∴AD⊥平面PDC，則AD⊥PC；
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
又PD=DC=4，E為PC的中點，∴DE⊥PE，且DE=PE=$2\sqrt{2}$，
則${S}_{△PED}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
又由（1）知，AD⊥平面PDE，且AD=2，
∴三棱錐A-PDE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△PED}•AD=\frac{1}{3}×4×2=\frac{8}{3}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查了線面垂直的判定，考查多面體體積的求法，是中檔題．