Question

2．設F₁、F₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且△F₁PF₂的三邊長構成等差數列，則此雙曲線的漸近線方程為y=±2$\sqrt{6}$x．

Answer 1

分析 由已知可得，PF₁＞PF₂，PF₁⊥PF₂，由△F₁PF₂的三邊長構成等差數列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂，結合雙曲線的定義，PF₁=PF₂+2a，利用勾股定理可得PF${\;}_{1}^{2}$+PF${\;}_{2}^{2}$=F₁F${\;}_{2}^{2}$，代入可求a與c的比值，從而得到$\frac{b}{a}$的值，得到該雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由P為雙曲線的右支上一點可知，PF₁＞PF₂，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，
∴F₁F₂＞PF₁＞PF₂，
由△F₁PF₂的三邊長構成等差數列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂=2c+PF₂①，
又由雙曲線的定義可知，PF₁-PF₂=2a即PF₁=PF₂+2a②，
①②聯立可得，PF₂=2c-4a，PF₁=2c-2a，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF${\;}_{1}^{2}$+PF${\;}_{2}^{2}$=F₁F${\;}_{2}^{2}$，即（2c-4a）²+（2c-2a）²=4c²，
整理可得，c²-6ac+5a²=0，
∵c＞a，
∴c=5a，可得：a=$\frac{c}{5}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}c}{5}$，
∴$\frac{b}{a}$=2$\sqrt{6}$，得該雙曲線的漸近線方程為y=±2$\sqrt{6}$x．
故答案為：y=±2$\sqrt{6}$x．

點評 本題主要考查了雙曲線的定義及性質在求解雙曲線方程中的應用，解題的關鍵是確定等差數列的中間項，屬于中檔題．