Question

3．已知函數f（x）=$\sqrt{9-{3}^{x}}$
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）若f（x）＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$•3^x，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數解析式有意義，9-3^x≥0可得定義域，根據定義域范圍與復合函數的單調性可求值域．
（2）根據指數函數的性質，采用兩邊平方，轉化為二次不等式求解．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{9-{3}^{x}}$，
函數解析式有意義，即9-3^x≥0，
解得：x≤2，
故得f（x）的定義域為（-∞，2]．
∵函數y=9-3^x在x≤2的值域為[0，9）．
∴f（x）=$\sqrt{9-{3}^{x}}$的值域為[0，3）．
（2）f（x）＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$•3^x，即$\sqrt{9-{3}^{x}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$•3^x，
兩邊同時平方，可得：9-3^x＞$\frac{5}{16}$（3^x）²
化簡得：5•（3^x）²+16•3^x-144＜0，即（5•3^x+36）（3^x-4）＜0
解得：3^x＜4，
即得：x＜log₃4．
所以實數x的取值范圍（-∞，log₃4）．

點評 本題考查了指數函數的定義域和值域的求法，和指數不等式的計算．屬于基礎題．