Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論在上的單調性；

（Ⅱ）設，若的最大值為0，求的值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1

【解析】

（Ⅰ）求導，由，分和兩種情況討論求解.

（Ⅱ），易得是上的減函數，存在唯一正實數滿足，，則，再根據的最大值為0建立方程求解.

（Ⅰ）因為，

所以在上單調遞減且

①若，即，則當時，，所以在上單調遞減；

②若，即，則當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減.

綜上：當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）根據題意所以，

因為，所以在上是減函數，

因為，，當時，，當時，，

所以，即.

因為，，當時，，當時，，

所以，即.

所以，

又因為，，

所以存在唯一正實數滿足，即（*）

當時，，是上的增函數；

當時，，是上的減函數；

所以，將（*）式代入整理得，

由題設而，所以，即，

所以，所以.