Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（8+x）=f（8-x），f（3+x）=f（-1+x），且f（x）不是常函數，則f（x）是（　　）

• A、是奇函數，不是偶函數
• B、是偶函數，不是奇函數
• C、是奇函數，也是偶函數
• D、既不是奇函數，也不是偶函數

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：本題利用已知條件，求出f（-x）與f（x）的關系，得到函數為偶函數，再用反證法說明函數不是奇函數，得到本題結論．

解答： 解：∵f（3+x）=f（-1+x），
令x-1=t，則：x+3=t+4，
∴f（t）=f（t+4），
∵f（8+x）=f（8-x），
∴f（-x）=f（-x+4）=f[8-（4+x）]=f[8+（4+x）]=f（12+x）=f（x）．
∴函數f（x）是偶函數．
假設f（x）是奇函數，則有f（-x）=-f（x），∴f（x）=0，與f（x）不是常函數矛盾，
故假設不成立．
∴函數f（x）是偶函數不是奇函數，
故選B．

點評：本題考查了函數的奇偶性，本題難度不大，屬于基礎題．