Question

設A，B是集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}的兩個不同子集，
（1）則不同的有序集合對（A，B）的組數為

 

；
（2）若使得A不是B的子集，B也不是A的子集，則不同的有序集合對（A，B）的組數為

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,子集與真子集

專題：集合,二項式定理

分析：（1）集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}有2⁵個子集，不同的有序集合對（A，B）可分有2⁵（2⁵-1）組．
（2）若A?B，并設B中含有k（1≤k≤5）個元素，則滿足A?B的有序集合對（A，B）有

5

k=1

C

k 5

（2^k-1）=3⁵-2⁵．同理，滿足B?A的有序集合對（A，B）也有3⁵-2⁵組．即可得出．

解答： 解：（1）∵集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}有5個元素，
故集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}有2⁵=32個子集，
又∵A，B是集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}的兩個不同子集，
∴不同的有序集合對（A，B）的組數為

A

2 32

=992，
（2）若A?B，并設B中含有k（1≤k≤5）個元素，則滿足A?B的有序集合對（A，B）有

5

k=1

C

k 5

（2^k-1）=

5

k=1

C

k 5

2^k-

5

k=1

C

k 5

=3⁵-2⁵．
同理，滿足B?A的有序集合對（A，B）也有3⁵-2⁵組．
∴滿足條件的有序集合對（A，B）的組數為992-2（3⁵-2⁵）=570組．
故答案為：992，570

點評：本題考查了集合的子集、有序數對，考查了二項式定理的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．