Question

18．對數函數f（x）的圖象過點（2，-1），函數g（x）=f（|x|）-x²．
（1）求函數f（x）的解析式； 
（2）求使g（x-1）+1＜0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出函數的解析式，代入求解即可．
（2）化簡不等式，利用函數的單調性轉化求解即可．

解答 解：（1）設f（x）=log_ax，函數f（x）的圖象過點（2，-1），
可得-1=log_a2，解得a=$\frac{1}{2}$．
函數f（x）的解析式：f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$．
（2）g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x|-x²在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函數，且在（0，+∞）上減函數，
∴g（x-1）+1＜0?g（x-1）＜-1=g（1）．
∴x-1＞1或x-1＜-1，
解得使g（x-1）+1＜0成立的x的取值范圍：（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評 本題考查函數的單調性的應用，函數恒成立條件的轉化，考查計算能力．